Del Cálculo Infinitesimal a las Matemáticas Modernas

Esta obra es una historiografía que inició en 2009 buscando identificar una ontogénesis del cálculo infinitesimal desde su dos grandes ramas: el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. En dicho barrido histórico se observaron rupturas epistemológicas que llevaron a la construcción de nuevos paradigmas, nuevos conceptos que en algunas ocasiones permitieron responder las preguntas de la época, y en otros la generación de nuevas ramas de las matemáticas. Situación que influyó en la forma como se hacían las matemáticas. La búsqueda de rigor en los procesos que se creaban resultó en una estructura compleja, compuesta por diversas ramificaciones que dieron origen a lo que hoy conocemos como las Matemáticas Modernas. Durante la historiografía, permítanme la analogía, se encontraron muchos tipos de caminos, algunos lisos, pavimentados por los que fue fácil recorrer distancias y observar procesos de construcción teórica. Hubo otros áridos, desérticos y de difícil tránsito, en los que fue necesario acudir a fuentes secundarias de historia de la matemática para tratar de allanar esos tortuosos senderos. Hubo momentos en los que se halló respuesta, en otros se profundizó el abismo al punto que, en esas ocasiones, los caminos eran inhóspitos, ciegos y con el ánimo de poder avanzar fue necesario acudir a fuentes primarias de información para poder comprender las situaciones y entender la generación de nuevos conceptos, de nuevas formas de hacer matemáticas. Entre esas fuentes primarias fue necesario conocer los trabajos de Descartes, Euler, Gauss, Fourier, Cantor, Lebesgue, Hilbert, Banach, Newman, Dieudonné, por nombrar algunos, con el objeto de clarificar la construcción y evolución de conceptos que derivaron en nuevas ramas de las matemáticas, entre ellas: análisis matemático, análisis complejo, análisis funcional, topología, topología algebraica y el más reciente, el análisis no estándar.

Debido a la poca literatura existente en Educación Matemática dedicada a la educación superior, que trate temas propios del Pensamiento Matemático Avanzado, motivó adelantar esta investigación, desde una compilación de temas relacionados con la epistemología de cálculo infinitesimal con el objeto de ofrecer estrategias didáctico-metodológicas a los que desean aprender y a los que enseñan esta rama de las matemáticas desde la educación secundaria y particularmente la formalizan en la educación superior. La complejidad al enseñarlas y las dificultades identificadas y reportadas en la escasa literatura existente al momento de aprenderlas, motiva el interés en desarrollar este tipo de trabajo que hoy se pone a su consideración, con el ánimo que tanto los que aprenden como los que enseñan, conozcan que la ontología del cálculo tiene intrínseca una complejidad epistémica en sus conceptos y estructuras matemáticas, situaciones que hacen complejo enseñarlas y aprenderlas, factores que muchas veces se desconocen por diversas razones. El fracaso escolar que reportan las estadísticas de varios países, particularmente latinoamericanos, en los estudiantes que terminan su educación secundaria y en los que inician la educación superior, unido a la alta tasa de deserción escolar universitaria, son debidos a fracasos en el aprendizaje del cálculo (diferencial e integral). La repitencia o el abandono de la universidad por estos factores mencionados al momento de estudiar estos cálculos no es gratis, ni por descuido de los estudiantes o de los procesos de enseñanza, que regularmente están centrados en el paradigma formal-mecanicista, que desconoce la existencia de una complejidad epistémica en las matemáticas mismas, que hace necesario el conocimiento y desglose de conceptos, procesos y temáticas que se pretenden seguir para que los estudiantes comprendan, aprendan y desarrollen competencias matemáticas que apliquen en su quehacer profesional.

A lo largo de la obra se describe, en algunos apartados al detalle, cómo cada sociedad participante en la construcción de las diversas ramas que conforman el cuerpo de las matemáticas modernas, fue contrastando conceptos, procesos y formas de actuar matemáticamente, buscando cada vez mayor rigor y precisión en cada definición, en cada concepto, de cada tema que requería rastrearse, la forma en que se enfrentaron las numerables preguntas que debían responderse desde constructos matemáticos a situaciones de la vida cotidiana. Aquí es claro que las matemáticas han sido y siguen siendo usadas porque ofrecen respuesta a situaciones propias de la cotidianeidad, la física, la economía y el diario vivir de la humanidad, por su doble condición: porque son una ciencia y a la vez son una herramienta útil para entender la naturaleza.

El interés por desarrollar en los estudiantes universitarios competencias en lo que se ha denominado STEM, por su sigla en inglés (Science, Technology, Engineer, Mathematics), fue otra razón que motivó iniciar este estudio de temas propios de cálculo diferencial e integral. Situación que ocasionó dar inicio a esta historiografía, que cubre aproximadamente desde el siglo V antes de nuestra era con el trabajo de los griegos, hasta los avances alcanzados en el siglo XX. Se rastreó y se muestra la forma cómo cada generación abordó las diferentes situaciones problema que se presentaban y cómo cada hombre, y cada sociedad fueron marcando hitos en la construcción de las complejas Matemáticas Modernas. Se encontraron diversas demostraciones, la mayoría fueron adaptadas a terminología de las Matemáticas Modernas, con el objeto que sean comprensibles, formateo que se elaboró sin descuidar la vigilancia epistemológica del saber que se desea trasmitir. Se resaltan las formas, los constructos teóricos y las encrucijadas a las que muchos de sus autores se enfrenaron ante las mordaces críticas de sus contemporáneos, y la forma como la sociedad matemática las superó.

Durante el barrido histórico se observó que primero fue el cálculo integral, su génesis se remonta a la antigua Grecia, y solo hasta la edad media se crea el cálculo diferencial a cargo de Newton y Leibniz, cuya construcción fue el producto del aporte de innumerables matemáticos anteriores a estos dos hombres, de ellos se acentúa, en este trabajo, la habilidad de comprender y articular todas esas obras anteriores para llegar a la construcción de cálculo infinitesimal. La historia de las matemáticas muestra a Newton como el pionero y a Leibniz como un coautor de dicha construcción. Llamó la atención que contrario a la forma como se enseñan actualmente el cálculo infinitesimal, en la educación superior, se inicia con el cálculo diferencial, pasando luego por el cálculo integral y en algunos casos terminando con un curso de análisis matemático, tal vez siguiendo el modelo francés aplicado a inicios del siglo XX donde trataron de ofrecer a los estudiantes textos de matemáticas superiores, que fueran comprensibles y didácticos que permitieran a las futuras generaciones de profesionales comprender los conceptos que se enseñan. Hoy, un siglo después se observa el fracaso de dicho modelo, que inconscientemente, quedó centrado en el paradigma formal-mecanicista donde se estudian axiomas, se demuestran teoremas, lemas y algunas veces proposiciones, desconociendo que, en innumerables temas, la mayoría de los estudiantes quedan sin comprenderlos, sin poderlos aplicar… en pocas palabras, sin desarrollar competencias STEM.

La historiografía mostró matemáticos europeos posteriores a la edad media, que notaron la falta de precisión y rigor en ese “nuevo análisis”, usando la terminología Newtoniana, y que posteriormente se llamaría el cálculo infinitesimal. Muestra que dedicaron sus vidas a buscar el rigor, la precisión en las matemáticas, lo que ellos desconocieron fue que esa búsqueda tendría como resultado, nuevas ramas de las matemáticas. La complejidad de tales construcciones derivó en un cuerpo sólido, bien formado que hoy conocemos como las Matemáticas Modernas. En esta presentación se comparten tópicos desarrollados en la antigüedad, en la edad media, posteriormente en los siglos XVIII, XIX y XX su evolución, su fundamentación y cómo este rigor que fue alcanzado extensiones al análisis matemático, la variable compleja, el análisis complejo, el análisis funcional, la geometría algebraica (que combina el álgebra abstracta, el álgebra conmutativa), la topología, la topología algebraica y análisis no estándar, entre tantas otras ramas que hoy conforman las Matemáticas Modernas.